Lam Dep: Bất đẳng thức Bunyakovsky

Bất đẳng thức Bunyakovsky được Victor Yakovlevich Bunyakovsky đưa ra để chứng minh các bất đẳng thức trong toán học.

Mục lục

1 Một số dạng cơ bản
- 1.1 Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường
- 1.2 Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số

2 Xem thêm

3 Tham khảo

Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường[sửa | sửa mã nguồn]

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0

Dấu " = " xảy ra khi ${displaystyle {frac {a}{c}}={frac {b}{d}}}$

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số[sửa | sửa mã nguồn]

Với hai bộ số ${displaystyle (a_{1};a_{2};...;a_{n})}$ và ${textstyle (b_{1};b_{2};...;b_{n})}$ ta có:

${displaystyle left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}right)left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}right)geq left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}right)^{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${displaystyle {frac {a_{1}}{b_{1}}}={frac {a_{2}}{b_{2}}}=...={frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ với quy ước nếu một số ${displaystyle b_{i}}$ nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì ${displaystyle a_{i}}$ tương ứng bằng 0.